| Abstract | U okviru ovo doktorskog rada istražuje se mogućnost poboljšanja robusne metode
geotehničkoga projektiranja bazirane na principima teorije pouzdanosti (RGD metoda), kako
bi ona postala efikasnija i praktičnija za upotrebu u svakodnevnoj inženjerskoj praksi. Rezultat
RGD metode je robusno i optimalno projektno rješenje geotehničke konstrukcije. Robusno
rješenje je ono koje nije značajnije osjetljivo na neizvjesnost ulaznih parametara, a koji se u
metodi nazivaju faktori šumova. Konačno projektno rješenje traži se varijacijom vrijednosti
varijabli odlučivanja unutar unaprijed definiranih granica. Optimalnost se postiže primjenom
genetskog algoritma NSGA-II koji rezultira skupom nedominiranih projektnih rješenja. Sva
rješenja sadržana u tom skupu jednako su dobra, odnosno, prema razmatranim kriterijima
optimizacije, niti jedno rješenje nije bolje od drugog. U postupku optimizacije minimizira se
trošak konstrukcije uz istovremeno maksimiziranje robusnosti za razmatrana granična stanja.
U odnosu na klasičan pristup projektiranju, značajna prednost RGD metode je
automatizirano pretraživanje cijelog projektnog prostora što umanjuje mogućnost odabira
nedovoljno sigurnog ili suviše konzervativnog projektnog rješenja. Unatoč navedenom, metoda
se ne primjenjuje u širem opsegu u inženjerskoj praksi. Glavni razlozi tome su računalna
zahtjevnost, primjena nestandardnih geotehničkih parametara i neusklađenost dobivenih
rješenja s normama za geotehničko projektiranje. U ovom radu je istraživana mogućnost
modifikacije RGD metode s ciljem uklanjanja glavnih nedostataka.
CILJ I HIPOTEZA
Cilj istraživanja je optimizacija i unaprjeđenje RGD metode, kako bi se omogućila
njezina primjena u svakodnevnoj inženjerskoj praksi, neovisno o poznavanju analitičkih izraza
funkcija graničnih stanja.
Glavne istraživačke hipoteze:
1. Modifikacija RGD metode zamjenom mjere robusnosti, redefiniranjem optimizacijskog
problema i implementacijom metode konačnih elemenata u postupak optimizacije
omogućuje njenu uporabu kao alternativu klasičnom pristupu projektiranja
geotehničkih konstrukcija.
2. Redefiniranjem optimizacijskog problema, koji je sastavni dio RGD metode, moguće je
ostvariti da sva rješenja iz prostora prihvatljivih rješenja zadovoljavaju kriterije
graničnih stanja propisane u Eurokodu 7.
U svrhu dokazivanja glavnih istraživačkih hipoteza definiraju se slijedeće sporedne hipoteze:
1. Relativna pogreška poboljšane metode procjene točke (IPEM) u aproksimaciji indeksa
pouzdanosti geotehničkih konstrukcija, pri uobičajenim vrijednostima standardnih
devijacija slučajnih varijabli nalazi se unutar inženjerski prihvatljivih granica.
2. Zamjenom mjere robusnosti, racionalizacijom broja slučajnih varijabli funkcija
graničnih stanja primjenom Sobolove metode i optimizacijom parametara genetskog
algoritma, moguće je značajno smanjiti broj evaluacija funkcija graničnih stanja u RGD
metodi.
3. Generalizirani indeks pouzdanosti uklapa se u koncept robusnosti korišten u RGD
metodi, stoga je opravdano njegovo korištenje kao mjere robusnosti geotehničkih
konstrukcija.
REZULTATI
Rezultati provedenog istraživanja pokazuju da je moguće značajno smanjiti računalnu
zahtjevnost i trajanje provedbe RGD metode. Glavna racionalizacija postignuta je zamjenom
indeksa robusnosti indeksom pouzdanosti i optimizacijom broja slučajnih varijabli. Indeks
pouzdanosti izračunava se primjenom metode IPEM metode s tri točke procijene. Njegovo
određivanje zahtijeva provedbu tri evaluacije funkcije graničnog stanja za svaku slučajnu
varijablu. U radu je istražena pogreška metode IPEM za različite geotehničke probleme, brojeve
točaka procijene i statističke razdiobe funkcija graničnih stanja. Očekivano, metoda IPEM s tri
točke procijene rezultira izraženijom pogreškom nego u slučaju pet ili sedam točaka, ali u
granicama zanemarivih vrijednosti. U slučaju tri točke procijene, pogreška se kreće u rasponu
od 0.01 do 0.12, odnosno od 0.3-5.8%. Maksimalna pogreška odnosi se na slučaj komplekse
nelinearne funkcije graničnog stanja sa šest slučajnih varijabli. Vrsta statističke razdiobe i
vrijednost koeficijenta varijacije dominantnog geotehničkog parametra ne utječe značajno na
veličinu pogreške. Nakon analize pogreške, provjeravana je pogodnost primjene metode IPEM
s tri točke procijene za procjenu indeksa pouzdanosti geotehničkih konstrukcija. Korišteni su
kriteriji koji uzimaju u obzir veličinu pogreške u ovisnosti o očekivanom ponašanju
konstrukcije. Prema spomenutim kriterijima, metoda IPEM pogodna je za procjenu indeksa
pouzdanosti geotehničkih konstrukcija. Iz navedenih razloga moguće je prihvatiti sporednu
hipotezu 1.
Mogućnost optimizacija broja slučajnih varijabli istraživana je primjenom Sobolove
metode senzitivnosti. U radu je istraživana pogreška metode IPEM s tri točke procijene u
određivanju vrijednosti Sobol-ovih indeksa prvog reda. One su „nusproizvod“ u provedbi
metode IPEM. Pokazano je da je pogreška metode u svim slučajevima zanemariva. Za različite
geotehničke probleme istraživan je utjecaj pojedinih slučajnih varijabli na varijance funkcija
graničnih stanja razmatranih problema. Utvrđeno je da se broj varijabli može smanjiti na jednu
do dvije, bez da se značajno utječe na procjenu indeksa pouzdanosti. Broj evaluacija funkcija
graničnog stanja dodatno je smanjen njenom provedbom samo za rješenja odabrana u okviru
postupka provedbe algoritma NSGA-II. Za različite primjere, time je broj evaluacija o odnosu
na originalnu RGD metodu smanjen je za 20-60%. Na primjeru RGD metode s jednom
funkcijom graničnog stanja, dva faktora šuma i 100 projektnih rješenja on iznosi 𝑛, = 7 ⋅
100 ⋅ 2 = 1400. Za isti slučaj, uz pretpostavku da je moguće smanjiti broj slučajnih varijabli
na jednu, broj evaluacija u predloženoj modificiranoj RGD metodi kretao bi se u rasponu od
𝑛, = 0.4 − 0.8 ⋅ (3 ⋅ 100 ⋅ 1) = 120 − 240. Ukupno smanjenje broja evaluacija
smanjeno je za 83-91%, pa je posljedično sporednu hipotezu 2 moguće prihvatiti.
U radu je istražena mogućnost uporabe generaliziranog indeksa pouzdanosti kao mjere
robusnosti u RGD metodi. Manji indeks pouzdanosti odgovara većoj varijanci razmatranog
odziva sustava, odnosno manjoj robusnosti. Odzivi sustava s većom varijancom osjetljiviji su
na varijacije ulaznih parametara. Isti odnos vrijedi i za indeks robusnosti. Analiziran je odnos
indeksa robusnosti i pouzdanosti za različite geotehničke probleme. U analizama su varirane
vrijednosti koeficijenta varijacije dominantnih parametara. Pokazano je da je taj odnos linearan
s vrlo visokim vrijednostima koeficijenta korelacije, koji se kreće u rasponu od 0.95-1.0.
Posljedica takvog odnosa je vrlo sličan oblik Pareto fronte dobivene u originalnoj i
modificiranoj RGD metodi, što se vidi u rezultatima prikazanih numeričkih primjera. Temeljem
rezultata provedenih analiza moguće je prihvatiti sporednu hipotezu 3.
Kako bi se omogućila direktna primjena RGD metode u inženjerskoj praksi, njeni
rezultati usklađeni su s normom Eurokod 7. Uvodi se princip karakterističnih i računskih
vrijednosti svojstva materijala, djelovanja i otpornosti. Optimizacijski problem proširuje se
uvođenjem dodatnih tvrdih ograničenja koja iz prostora prihvatljivih rješenje isključuju sva
koja ne zadovoljavaju propisane kriterije. Zadovoljavanje ograničenja mjereno je faktorom
konzervativnosti (ODF) za različita granična stanja. Uvjet koji pojedino projektno rješenje treba
zadovoljiti da bude prihvatljivo je da za sva granična stanja vrijednost ODF-a bude veća ili
jednaka 1. Iz prikazanih numeričkih primjera primjene modificirane RGD metode vidi se da
sva prihvatljiva rješenja zadovoljavaju kriterije propisane u normi Eurokod 7. Iz navedenih
razloga moguće je prihvatiti glavnu hipotezu 2.
Prihvaćanjem sporednih hipoteza 1, 2 i 3, te glavne hipoteze 2 za posljedicu ima
prihvaćanje glavne hipoteze 1. Modificiranje RGD metode omogućilo je njenu primjenu i na
geotehničke probleme nepoznatih funkcija graničnih stanja. Broj evaluacija i računalna
zahtjevnost metode značajno su smanjene, a rezultati su usklađeni s normom Eurokod 7. Time
su stvorene pretpostavke za primjenu RGD metode kao alternative tradicionalnom pristupu
projektiranja geotehničkih konstrukcija. |
| Abstract (english) | This doctoral thesis investigates the possibility of improving a Reliability-based robust
geotechnical design method (RGD) so that it becomes effective and practical for use in
everyday engineering practice. The result of the RGD method is a robust and optimal design,
which is insensitive to the variation of the input parameters. Within the RGD framework, hardto-
control parameters (e.g., uncertain geotechnical parameters) are called noise factors. The
design optimality is achieved by applying the genetic algorithm NSGA-II which results in a set
of non-dominated designs from which the final design is selected. In the optimization process,
the cost of the structure is minimized while maximizing structure robustness for all relevant
limit states. All designs from a set of non-dominated design solutions are equally good, i.e., no
solution is better than another.
Compared to the classical geotechnical design approach, a great advantage of the RGD
method is the automated search of the entire design space, which reduces the possibility of
choosing an unsafe or over-conservative design. Nevertheless, the method is not applied on a
broader scale in everyday engineering practice. The main reasons are computational
complexity, the use of non-standard geotechnical parameters and non-compliance of the
method results with the geotechnical design standards. Within this doctoral thesis, a
modification of the RGD method is considered to eliminate these main shortcomings.
RESEARCH OBJECTIVE AND HYPOTHESES
The main objective of the research is to optimize and improve the RGD method to
enable its application in everyday engineering practice, regardless of the knowledge of
analytical expressions of limit state functions.
The main research hypotheses:
1. Modifying the RGD method by replacing the measure of robustness, redefining the
optimization problem, and implementing the finite element method in the optimization
process enables its use as an alternative to the classical approach to the geotechnical
design.
2. By redefining the optimization problem, which is an integral part of the RGD method,
it is possible to achieve that all designs from feasible design space meet the limit states
criteria prescribed in Eurocode 7.
To prove the main research hypotheses, the following ancillary hypotheses are defined:
1. The relative error of the Improved Point Estimation Method (IPEM) in the
approximation of the reliability index of geotechnical structures at the typical values of
standard deviations of random variables is within the engineering acceptable values.
2. By replacing the measure of robustness, optimizing the number of random variables of
limit state functions by using the Sobol method and optimizing the parameters of the
genetic algorithm, it is possible to significantly reduce the number of evaluations of
limit state functions in the RGD method.
3. The generalized reliability index fits into the concept of robustness used in the RGD
method; therefore, its use as a geotechnical structures’ robustness measure is justified.
RESULTS
The results of this research show that it is possible to significantly reduce the
computational complexity and duration of the execution of the RGD method. The most
significant rationalization was achieved by replacing the robustness index with the reliability
index and optimizing the number of random variables. The reliability index is calculated using
the IPEM method with three estimating points. Its determination requires the three evaluations
of the limit state function for each random variable. The paper investigates the error of the
IPEM method for different geotechnical problems, different numbers of estimation points and
statistical distribution of limit state functions. As expected, IPEM with three estimating points
results in a larger error than in the case of five and seven estimating points. However, the values
of these errors are negligible. In the case of three estimating points, the error ranges from 0.01
to 0.12, or 0.3-5.8%. The maximum error refers to the case of a complex nonlinear limit state
function with six random variables. The type of statistical distribution and the coefficient of
variation of the dominant geotechnical parameter do not significantly affect the magnitude of
the error. After the error analysis, the suitability assessment of the IPEM method for reliability
index estimation was performed. The assessment was carried out according to criteria that take
into account the magnitude of the error and the expected behavior of the structure. Based on the
obtained results, the IPEM method is suitable for estimating the reliability index of geotechnical
structures. For these reasons, it is possible to accept the ancillary hypothesis 1.
The possibility of optimizing the number of random variables was analyzed using the
Sobol method. The outcome of the Sobol method are Sobol indices, which can be used to
estimate the influence of individual random variable on the variance of the considered limit
state function. The first order Sobol indices can be determined using the IPEM method. An
error analysis of the IPEM method in determining the Sobol indices was performed. According
to the results, the error is negligible. For different geotechnical problems, the influence of
individual random variable on the variance of the corresponding limit state functions was
investigated. It was found that the number of variables can be significantly reduced to the
negligible influence of certain random variables on the variance of the considered limit state
function. It has been shown that reducing the number of random variables has no significant
effect on the accuracy of the reliability index estimate. The number of limit state functions
evaluation was further reduced by evaluating limit state functions only for designs selected
within the NSGA-II algorithm. With this approach, it is possible to reduce the number of
evaluations by 20-60% compared to the original RGD method. The number of evaluations of
the RGD method with one limit state function, two noise factors and 100 possible designs is
𝑛, = 7 ⋅ 100 ⋅ 2 = 1400. For the same case, assuming that it is possible to reduce the
number of random variables to one, the number of evaluations in the proposed modified RGD
method would range from 𝑛, = 0.4 − 0.8 ⋅ (3 ⋅ 100 ⋅ 1) = 120 − 240. The overall
reduction in the number of evaluations was reduced by 83-91%, so the ancillary hypothesis 2
can be accepted.
The paper investigates the possibility of using the generalized reliability index as a
measure of robustness in the RGD method. The lower reliability index corresponds to the higher
variance of the considered system response, i.e., lower robustness. The relationship of
robustness and reliability index for different geotechnical problems was analyzed. It has been
shown that the relationship between the two indices is linear, with very high values of the
correlation coefficient, ranging from 0.95-1.0. The consequence of such a relationship is a very
similar shape of the Pareto fronts obtained by the original and modified RGD method, which
can be seen in the results of the presented numerical examples. Considering the abovementioned,
it is possible to accept the ancillary hypothesis 3.
To enable the direct application of the RGD method in engineering practice, its results
are harmonized with the Eurocode 7 standard. Additional hard constraints have been introduced
into the definition of the optimization problem. Thus, all designs that do not meet these
constraints are excluded from the feasible design space. Compliance with these constraints is
checked using the overdesign factor (ODF), which is determined for all considered limit states.
Feasible design space contains only designs for which the ODF is greater or equal than one for
all relevant limit states. From the presented numerical examples, it can be seen that all feasible
designs meet the criteria prescribed in Eurocode 7. For these reasons it is possible to accept the
main hypothesis 2.
Acceptance of ancillary hypotheses 1,2 and 3, and main hypothesis 2 results in
acceptance of main hypothesis 1. Modification of the RGD enabled its application to
geotechnical problems of unknown limit state functions, the number of evaluations and
computational complexity of the method were significantly reduced, and the results are
harmonized with the Eurocode 7 standard. This created the preconditions for the application of
the RGD method as an alternative to the classical geotechnical design. |
